ある一定の傾斜角がついた地面に、物体を自由落下させたときの跳ね返りを考えてみましょう。この場合の跳ね返り係数は1として空気抵抗はゼロとして考えると面白いことが分かります。跳ね返り係数という言葉は聞いたことがあると思うけど、その言葉の定義を知っている人は意外と少ない。投手が投げた球を打者が思い切りスイングしてバットに当たった時、跳ね返り係数は1.0～1.3くらいのことが多いです。跳ね返り係数というものは

近づく速さ÷遠のく速さのことです。

つまり、速度と速度の比較です。ピッチャーが150km/hの真っ直ぐを投げ込んできて、それをバッターが捕える。この時の打球速度が150/kmであれば跳ね返り係数は1となります。この場合はバットに当たった時の速度が150km/hで跳ね返した時の速度も150km/hということが言いたかったのですが、近づく速度と遠のく速度が同じとき、跳ね返り係数を1と言います。通常投手の初速は150km/hであっても終速は140km/hくらいなので厳密に言えばMLBの打者は跳ね返り係数1以上で打ち返してることになりますが、まあまあ1に近いレベルで野球をしているといってもいいと思います。極稀に、大谷選手のようなハードヒッターは140km/hを190km/hで打ち返したりするので跳ね返り係数は1.35近くになりますけど、普通の打者は150km/hなので1に近いレベルで打ち返してると言って良いでしょう。
 

※C地点のt´はt´´でした。画像に´転記し忘れてます。

30度の傾斜角がついた地面にボールが当たった時は60度の方向で飛んでいきます。これを表したのが上記の画像ですが、一般的に野球で60度の方向で飛んでいけば浅い外野フライか若しくは内野手に捕球されるでしょうね。一体傾斜角何度で打ちだされた時が1番ボールが遠くに飛んでいくかを考えていたのですが、意外と60度でも遠くに飛んでいくことが分かりますね。

1mの高さから自由落下させてA地点に衝突した時の速度は15.95km/hでした。跳ね返った打球が60度の角度で飛び放たれて行くのですが、この時の横方向速度Vxは8km/h。縦方向の速度Vyは9.4km/hで角度方向のVは15.95km/hですね。跳ね返り係数が1ですから。その後0.39秒後に最高点に到達しこの時の高さが75cmです。75cmという距離を求めるのに

y=vsin60t-1/2gt2(二乗)という式を使っていますが、自由落下するときの公式は

距離=vt+1/2gt2(二乗)になるはずでしたね。
速度v
時間t
加速度g

ところが跳ね返った打球は自由落下ではなくて、上昇していくので加速度がついて遅くなるわけです。だから+gt2のところが-gt2になっています。加速度とは9.8m/s。毎秒9.8mの加速度で落下していくのが地球の重力でした。場所によってほんの僅か差がありますが大体9.8m/sになってるってのが物理の決まりです。

B地点までの距離yは75cmで距離xは86.6cmでした。60度の角度で放たれた打球は0.39秒後に高さ75cmに到達し、この時の横方向の移動距離は86.6cmということです。

sin30度は1/2
cos30度は√3/2
sin60度は√3/2
cos60度は1/2
sin45度は1/√2
cos45度は1/√2

最高点まで到達した後は放物線を描いて落下し始めC地点に到達します。この時の距離が1.732mですね。つまり60度の角度で跳ね返った打球は0.78秒後に1.732mも遠く離れた地点で落下します。

同じ条件で傾斜角30度で跳ね返されたらどうなるでしょうか？

この式に当てはめるとB地点の高さyは
h×(sin30)2乗だから1/4(25cm)ってことになります。
sin30度は1/2
距離xは2h×sin30×cos30=0.866（86.6cm)ってことになります。
sin30は0.866、cos30は0.500
到達時間は0.45×1/2だから0.225sとなります。

同様にC地点では
距離は4h×sin30×cos30=1.732m
到達時間は√19.6÷9.8=4.43/9.8
0.452Sとなります。

到達時間は0.78秒から0.45秒と短くなりましたが、到達距離は1.73mという事で60度で跳ね返った玉も、30度で跳ね返った玉も同じ距離まで飛んでいくという事になります。

角度60度
最高到達地点75cmで0.78秒後に1.732m先に着弾する。
角度30度
最高到達地点25cmで0.45秒後に1.732m先に着弾する。

それでは同じ条件で傾斜角45度で跳ね返されたらどうなるでしょうか？

この式に当てはめるとB地点の高さyは
h×(sin45)2乗だから(1/√2)の二乗で1/2
50cmです。
距離は2h×sin45×cos45で2h×1/2は1mです。
到達時間は0.45×0.707=0.32sです。
sin45=1/√2、cos45=1/√2(0.707)

同様にC地点では
距離は4h×sin45×cos45=4×(1/√2)二乗で2m
到達時間は(2×√19.6)÷(9.8×√2)
0.64Sとなります。

角度60度
最高到達地点75cmで0.78秒後に1.732m先に着弾する。
角度30度
最高到達地点25cmで0.45秒後に1.732m先に着弾する。
角度45度
最高到達地点50cmで0.64秒後に2m先に着弾する。

これによると45度の角度で打ちあがった玉が一番遠くまで飛ぶようですが、まあこれくらいの事は小学生でも予想できること。大抵の人は1mの高さから玉を落として45度の角度で跳ね返ったら2mくらい飛ぶのかなあって思いますよね。特に跳ね返り係数を1と指定してるので余計そう思った人は多いでしょうが、実際に計算しても同じ結果が得られました。だからといってこのような計算が無駄かというとそうは思わないけれど、空気抵抗がなければこういう物理は割と簡単なのです。

では実際に野球の現場でも打者が打った打球角度が45度だと1番ホームランになり易いかというとそうではありません。

ホームランになり易い角度は26度から30度です。

何故45度の打球がホームランにならないかというと空気抵抗を受けるから。空気抵抗が打球の行方を邪魔するから45度の角度で上がった打球は押し戻されて外野フライに収まるけれど、其れよりももっと低い角度。26～30度の角度で飛び放たれた打球は空気抵抗を押しのけてフェンスオーバーします。勿論風の影響もありますね。逆風にあえば高く飛び上がった打球は完全に押し戻されてしまうから30度を超えるような飛球はかなり影響を受けるでしょう。45度なら外野フライでもフェンス近くまですら到達しないのではないかと思いますね。

(1)風の影響(追い風と逆風)
(2)湿度の影響(デーゲームとナイトゲーム)
(3)湿度の影響(晴れの日と雨の日)
(4)気圧の影響(高地と低地)

風の影響は誰でも分かるにしても、湿度の影響はあまり気付かなかった人も多いはず。湿度が高ければ空気中の水分が打球をせき止める。日本の梅雨時だと部屋の湿度が80%くらいのこともあるけど、そんな状況じゃあ打球は本当に飛ばない。ロサンゼルスは1年中雨が降らいないので湿度は低い。BS1の中継を観てるとドジャースタジアムの日中は湿度が20%くらいだから、デーゲームの試合は打球が飛ぶけど、其れが夜になると湿度が40とか50%くらいまで上がることがあるのでナイターよりもデーゲームの方が本塁打が出易い。向こうは日曜にはデーゲームが多いけど時差があって日本では月曜日の朝。だから月曜日の朝目覚めると

大谷選手が第〇〇ホームラン

というニュースをよく見るのはそういう事ですね。つい最近でも外野フェンスぎりぎりの打球を何度も飛ばしましたが、夜なら外野フライで終わる打球も、日中ならもしかしたらホームランになったかもしれません。そういう事があるので、大谷選手のデータではデーゲームの方が高打率とかHRが多いから相性が良いと思ってる人も多いのですが、これは相性ではなくて湿度の差ですね。そういう事を深く考えるようになると、大谷選手がどの試合でHRを打つかも予想できるようになるかも知れません。

アメリカ野球学会
Society for American Baseball Research
セイバーメトリクス
SABR Metrics(評価基準)

セイバー・メトリクスという言葉を聞いたことがあるかもですが、最近MLBではこのような考えで個人の評価をすることが多くなりました。アメリカで1970年代の後半にビル・ジェームズという人が、それまでの野球の評価基準にダメ出しをして新しい考え方で選手の力量を評価することを提案しました。彼が主張した評価基準は安打と四死球は同じ出塁であり得点に結びつくという点で同評価とした。そうであれば安打を打つ打率よりも、四死球を加味した出塁率の方が重要であるという事でこれが今現在のOPSにつながっている。OPSは出塁率と長打率の合計。また打点は運の要素が強いため価値がないと主張。打点は自分より前の打者の出塁率に依存するし、得点は後続の打者の優劣に依存するので、打点とか得点は価値がないというもの。運に左右されることなく打者の能力を評価するという考え方がセイバー・メトリクスの柱である。そして本塁打は打者がひとりで得点を挙げる手段であり最重要だとした。つまり野球における主要打撃タイトルとされる打率、打点、本塁打のうち価値があるのは本塁打だけであるというのである。厳密には本塁打さえも、上述した4つの要素で変わるので運の要素は否定できないのであるが、ひとつの試合では皆がほぼ同じ条件であるという考えは成り立つので、本塁打だけは特別扱いされるのである。現在のフライボール革命はこのロジックに依るところが大きいし、セイバー・メトリクスは今最も評価されている価値基準である。

OPS=OBP+SLG
OBP出塁率とSLG長打率を単純に足した数値。打者の能力を示す指標として現在最も重要視されている。OPSが1を超える打者はMVP級だとされる。2023年の大谷翔平はOPS1.066。打率が高ければ出塁率も高くなるので相対的には評価され、打率単体ではあまり評価されなくなっているってことだけど、MVPを選出するのはアナリストではなくて記者投票だから、未だに打率の見栄えが良い選手の方が選ばれる傾向にはあります。最近の30年間で打率が0.290を下回ってMVPになったのはスタントン0.281、トラウトの0.287とか大谷の0.257くらい。大抵は0.290かもしくは3割以上の成績ですね。

出塁率は(安打、四球、死球)を(凡打、安打、四球、死球、犠牲フライ)で割った数字である。
長打率は塁打÷打数。塁打はHR4、3B3、2B2、1B1で求めた塁数

WHIP=(与四球＋被安打)÷投球回数
然しながらボロス・マクラッケンによる安打=偶然の副産物という衝撃の発見により現在は重要な指標となみなされていない。むしろK/BBの方が重要視されている。

K/BB=奪三振÷与四球
被安打に左右されない投手の制球力と安定感を示す指標として重要視される。この数字が3.5を超す投手は優秀とされる。2023年の山本由伸は169奪三振/28与四球で6.04を記録した。今年の今永投手も奪三振159/28四死球なので5.68と非常に高い数字。然しながら今永投手は被本塁打が多いので相殺される。打者を評価する基準は、打率、打点から本塁打とOPSに移行しつつあるが、投手を評価する基準は防御率、勝利数から

(1)奪三振数
(2)与四球
(3)被本塁打

の3つに変わりつつある。

セイバー・メトリクスでは打点を全く評価していない。打順に依っても、チーム事情によっても変わるし走者の有無により1打点から4打点までの差が付くから運の要素が強いとした。同時にMLBでは得点圏打率も全く評価されていない。得点圏打率とか打点は偶然の産物。確率の偏りとされる。其れに代わってビル・ジェームズが提案したのがRCという指標ですね。RC=RUNS CREATED

A=安打＋四球＋死球-盗塁死-併殺打
B=塁打+0.26×(四死球)+0.53×(犠飛＋犠打)+0.64×盗塁-0.03×三振
C=打数＋四死球＋犠飛＋犠打

RCは(A+2.4C)(B+3C)/9C-0.9C
RCが100を超える選手がトップクラスの選手と考えられている。2024年9/9現在の大谷選手は

A⇒安打162，四死球77、盗塁死4、併殺打6
A⇒162+77-4-6で229

B⇒塁打344、四死球77、犠飛5、犠打0、盗塁46、三振145
B⇒344＋20.02＋2.65＋29.44-4.35で391.76

C⇒打数557、四死球77、犠飛5
C⇒557＋77＋5で639
A229、B391.76、C639で計算するとRCは132.6となる。

これが大谷選手の対抗馬と言われてるメッツのリンドア選手と比べると
打数585、安打158、塁打288、盗塁26，盗塁死4、四死球63
犠飛3、犠打0、併殺打7で計算すると
Aが210、Bが353.66、Cが651で計算すると111.9となる。

大谷翔平が132.6
リンドアが111.9

攻撃能力だけを見ればこれだけの差がついています。其れに対してリンドア選手は守備によるポイントがあるのでその辺の総合評価となりますね。いずれにしても現段階では111.9と132.6ではあまりにも大きな差がついてますので、大谷選手が評価されると思います。巷では色々と言われますが、実際の彼の能力は過大評価ではないし、メジャーの監督さんが最も欲しがる攻撃性能を持った選手ですね。

フライボール革命の進展
極端な守備シフトの副産物的に語られるのがフライボール革命である。
2006年MLBの打率は0.269
2010年には0.257
2014年には0.251と下落した。

徹底した打球方向の研究により、極端な守備シフトによって打者が封じ込まれ、投高打低が進行したということです。これにより野手の間を抜くという安打狙いの打撃では結果が望めないとして、野手の頭を超すフライを打つのが良いという「フライボール理論」が唱えられました。ヒューストン・アストロズがこの理論をチームに浸透し、2017年のワールド・シリーズを制したことから一気に広まりフライボール革命と言われるようになったんですけど、この2017年はドジャースにとっては痛恨の極み。例のサイン盗み疑惑があった年ですが皮肉にもこの辺りからメジャーの野球は大きく変わり始めます。

フライボール革命のポイントは打球速度と打球角度だけど、打球速度が158km/h以上で、打球角度が26度から30度で上がった打球が最もヒットやホームランになり易いとされ、このエリアはバレルゾーンと名付けられました。打球速度が158km/hを超えれば超えるほどバレルゾーンは広がっていく。速度が180km/hになればバレルゾーンは10度から40度くらいまで広がるからヒット、ホームランが出る可能性が高くなる。故に大谷翔平の打球速度が度々紹介されるのは其れが理由で

MLBの考えではこの打球速度こそが最も重要な指標だと考えられている。

2024年バレル率の上位6人です。

アーロン・ジャッジ選手の25.9%は飛びぬけて良い数字ですが、ソト、大谷選手もかなり良いです。この数字を見ると
アメリカン・リーグではジャッジ、ソト、ルーカーの3人
ナショナル・リーグでは大谷、クルーズ、オズーナの3人

つまり打撃の能力を評価する場合は
(1)打球速度
(2)バレルゾーン率
(3)OPS

この3つで判断されるようになり、1番重要なのが「打球速度」です。其れに加えてもっと細かいところまでを総合的に評価するのがRCってことですね。その辺の評価でその年のMVPが決まります。

安打は偶然の産物
セイバー・メトリクス研究者のボロス・マクラッケンは1999年にMLBの投手は投球の結果を殆どコントロールできず、被打率はシーズンレベルのスケールで見れば投手の能力とは相関関係がない。投手のパフォーマンスには守備、球場、天候などの投手の制御を超えた要素が重大な影響を与えているという見解を発表した。マクラッケンは複数の投手のデータを分析して投手の被打率はその能力にかかわらず、長期的に見ればリーグの平均打率に近づくということを発見した。つまり被安打は投手の能力ではなく、その他の要因によって記録されるとし、投手がコントロールできるのは

奪三振
与四球
被本塁打

この3つだけだと断定した。

そしてDIPSを発表する。

Defense Independent Pitching Statistics。これは投手の指標は被本塁打、与四球、奪三振だけで算出すべきだとするものでありDIPSに基づいてその他の指標を考案する。マクラッケンは同様の考え方でBABIPも発表する。

BABIP
Batting Average Ball in Play

BABIPは長期的に見ればどの投手もリーグの平均打率に近づく。例えばシーズン前半でこの数字が低い投手は以後は高くなっていき、この数字が高い投手は徐々に数字が下がっていくとした。マクラッケンの発見は端的にいえば、投手にとって本塁打以外の安打は運の産物に過ぎない。という衝撃的なもので、発表当初にはビル・ジェームズも異論を唱えていたが何度もの検証を経て、どうやらマクラッケンの見解は正しいという結論に落ち着いている。これによって

防御率
WHIP
被打率

という投手の指標は壊滅的な打撃を受けてセイバーマトリクス的には全く顧みられなくなった。セイバーメトリクスは現在は新しい段階に進化しているが、マクラッケンによる投手にとって安打は「偶然の産物」という考え方は継承されている。そして日本では殆ど普及していないのが現実である。

何だか

パチンコの大当たりは長期的に見ればどの遊技客も遊技機の平均確率に近づくので、普段当たってるように見える客でもそれ以降は徐々に当たらなくなっていき、それまでに当たってない客は当たりが回復するというのに似ています。期待値さえ積めば、そのうち大当たり確率は大数の法則に従うからマイナスからプラスへと転じるという理屈にそっくりですね。パチンコの世界は確率。野球の世界には確率は存在しませんが、確率の偏りに似たようなことはあるのです。

最近MLBの試合をBS1に録画して見ています。録画予約をした試合でも、リアルタイムに見ることも勿論あるのですが、そうした場合ホームランと外野フライは紙一重。痛烈な内野ゴロが併殺打になることもあれば、タイムリーになることもある。ぐだぐだの凡ゴロの方が、内野手が処理しにくて致命的な内野安打になったり、エラーを誘うこともある。何が正解で何が不正解か分らんと感じる事は枚挙にいとまがありません。

どんなに大きな外野フライでも外野フライは外野フライでアウトです。
痛烈な打球でも外野手が上手ければ、どんな打球でもアウトになってしまいます。
最近アームストロングという人の存在を知りました。彼がいなければド軍は4点くらい獲れてたでしょう。
其れが打球速度と打球角度が優秀であれば、間違いなく本塁打になり得点が入ります。

「安打は偶然の産物である」という理屈はその通りと思います。

私自身も古い考えの持ち主で、未だに打率3割の夢が捨てきれません。3割打ってないと何だか見栄えが悪いような気がして打率で人を評価する考えが抜けきりませんが、そろそろ見直した方が良いかも知れませんね。MLBの場合は、打球速度さえ速ければ、今年は打率が低くても来年は打てるだろうとか、本来ならもっと高打率を残せる選手だという事で戦力として手放さないみたいです。2021年に大谷選手とMVPを争ったウラジミール・ゲレーロ選手は、2022、2023年は不振でした。

2021年打率0.311
2022年打率0.274
2023年打率0.264

もうこの選手は終わったかなあと思ってたら、MLBの評価では打球速度が速いのでもっと打てる選手だという評価。すると

2024年は打率0.321

確かに、安打は偶然の産物かも知れません。

物理、統計的な分析は野球には絶対的に必要な要素ですが、パチンコと麻雀も似たようなところがあると感じています。物理、統計、数学に強くなるというのは野球でもパチンコでも同じかもしれませんね。ただし、野球の場合は数字を分析するのは専門のアナリストがいて選手とアナリストは別々の人間がやっています。パチンコはひとりの人間がアナリストにもなるし、プレイヤーにもなるから両方の能力を兼ね備えていないと無理ですがね。

本日は野球を物理的、統計的に見てみました。すると野球で扱われる物理、数学、統計はパチンコの世界とあまり変わらないなと感じることが多いです。「運」に左右される要素を評価の対象とせず、「運」以外の要素でその人の能力を見ようというのは深く考えさせられました。

最近データ・ボールという本を買いました。本日の内容はこの本を読んだ内容を基にして書きました。玉を自由落下させたときに何度の角度で飛んでいくと1番遠くまで飛ばせるかという物理的なお話と計算方法は、私が若い頃に考えたメモを見て其れを思い出して書いています。多分30歳くらいの時に書いたメモなのですが、全部自分で考えたものです。従って計算方法は間違ってるところがあるかも知れません。